Question

（本小題滿分12分）
已知數列{a}的前n項和Sn= —a—()+2   (n為正整數).
（1）證明：a=a+ ().,并求數列{a}的通項
（2）若=，T= c+c+···+c，求T.

Answer 1

⑴a=. ⑵T=3—.

本試題主要是考查了數列通項公式的求解以及數列的求和的綜合運用。
（1）因為數列{a}的前n項和Sn= —a—()+2   (n為正整數).
利用前n項和與通項公式的 關系得到a=a+ ().,并求數列{a}的通項
（2）根據第一問得到=，然后運用錯位相減法得到數列的和式。
解：⑴由S= —a_n—（）+2，得S= —a—()+2，兩式相減，得a=
—a+ a+()，即a=a+().---------------------------------------2分
因為S= —a—（）+2，令n=1，得a=.對于a=a+()，兩端同時除以()，得2a=2a+1，即數列{2a}是首項為2·a=1，公差為1的等差數列，故2a=n，所以a=.------------------------------------6分
⑵由⑴及=，得c= (n+1)()，
所以T=2×+3×（）+4×（）+···+(n+1) ()，①
T=2×（）+3×（）+4×（）+···+(n+1) ()，②
由①—②，得
T=1+（）+（）+···+()－(n+1) ()=1+—
(n+1) ()=—.  所以T=3—.------------------------------------12分