Question

【題目】設實數λ＞0，若對任意的x∈（0，+∞），不等式eλx﹣ ≥0恒成立，則λ的最小值為（　　）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】A
【解析】解：實數λ＞0，若對任意的x∈（0，+∞），不等式eλx﹣ ≥0恒成立，

即為（eλx﹣ ）min≥0，設f（x）=eλx﹣ ，x＞0，f′（x）=λeλx﹣ ，

令f′（x）=0，可得eλx= ，由指數函數和反函數在第一象限的圖象，可得y=eλx和y= 有且只有一個交點，

設為（m，n），當x＞m時，f′（x）＞0，f（x）遞增；當0＜x＜m時，f′（x）＜0，f（x）遞減．即有f（x）在x=m處取得極小值，且為最小值．

即有eλm= ，令eλm﹣ =0，可得m=e，λ= ．則當λ≥ 時，不等式eλx﹣ ≥0恒成立．則λ的最小值為 ．

另解：由于y=eλx與y= 互為反函數，故圖象關于y=x對稱，考慮極限情況，y=x恰為這兩個函數的公切線，此時斜率k=1，再用導數求得切線斜率的表達式為k= ，即可得λ的最小值為 ．

故答案選：A．

本題考查的是利用求導解決函數最值的問題，設f（x）=eλx﹣ l n x λ ，x＞0，f′（x）=λeλx﹣ 1 λ x ，令f′（x）=0，可得eλx= ，由指數函數和反函數在第一象限的圖象，可得y=eλx和y= 有且只有一個交點，設為（m，n），當x＞m時，f′（x）＞0，f（x）遞增；當0＜x＜m時，f′（x）＜0，f（x）遞減．即有f（x）在x=m處取得極小值，且為最小值．即有eλm= ，令eλm﹣ =0，可得m=e，λ= ．則當λ≥ 時，不等式eλx﹣ ≥0恒成立．則λ的最小值為 ．