Question

【題目】設函數 ，
（1）求證： ；
（2）當x≥1時，f（x）≥lnx﹣a（x﹣1）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：要證明 ，即 ，

∵x＞0，∴也就是要證明lnx≤x﹣1，即lnx﹣x+1≤0，

下面證明lnx﹣x+1≤0恒成立，

令g（x）=lnx﹣x+1， ，令g'（x）=0，得x=1，

可知：g（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，

∴g（x）≤g（1）=ln1﹣1+1=0，

則 ；

（2）解：當x≥1時，f（x）≥lnx﹣a（x﹣1）恒成立， ，即xlnx﹣a（x2﹣1）≤0，

令h（x）=xlnx﹣a（x2﹣1），（x≥1），h'（x）=lnx+1﹣2ax，

令H（x）=lnx+1﹣2ax，∴ ，

①當a≤0時，H'（x）＞0恒成立，

∴H（x）在[1，+∞）上遞增，h'（x）=H（x）≥H（1）=1﹣2a＞0，

∴h（x）在[1，+∞）上遞增，

∴h（x）≥h（1）=0，

∴a≤0不符合題意；

②當 時， ，

當 時，H'（x）＞0，H（x）遞增，h'（x）=H（x）≥H（1）=1﹣2a＞0，

從而h（x）在 上遞增，

∴h（x）≥h（1）=0，

∴ 不符合題意；

③當 時， ，H'（x）＜0恒成立，

∴H（x）在[1，+∞）上遞減，h'（x）=H（x）≤H（1）=1﹣2a＜0，

∴h（x）在[1，+∞）上遞減，

∴h（x）≤h（1）=0，

∴ 符合題意．

綜上所述：a的取值范圍是 ．

【解析】（1）要證明 f ( x ) ≤ 1 ,只需要證明lnx≤x﹣1，構造函數g（x）=lnx﹣x+1，通過求導不難證明g（x）≤g（1）=0，結論得證；（2）當x≥1時，f（x）≥lnx﹣a（x﹣1）恒成立，即xlnx﹣a（x2﹣1）≤0，構造函數h（x）=xlnx﹣a（x2﹣1），通過求導后分情況討論①a≤0時，②0 < a < ，③a≥三個情況可得出a的取值范圍.