Question

設(shè)f(x)＝ax²＋bx＋c(a＞b＞c)，f(1)＝0，g(x)＝ax＋b，

(1)求證：函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．

(2)設(shè)f(x)與g(x)的圖象的交點(diǎn)A，B在x軸上的射影為A₁，B₁，求|A₁B₁|的取值范圍．

(3)求證：當(dāng)x≤－時(shí)，恒有f(x)＞g(x)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)ax2＋bx＋c＝ax＋b，即ax2＋(b－a)x＋c－b＝0，(*)其判別式Δ＝(b－a)2－4a(c－b)．由f(1)＝a＋b＋c＝0且a＞b＞c，知a＞0，c－b＜0，從而Δ＞0，命題得證． 　　(2)設(shè)方程(*)的兩根為x1，x2，則 　　而|A1B1|＝|x1－x2|＝．因?yàn)閍＞b＞c，a＋b＋c＝0a＞0，1＞＞，即1＞＞，所以－2＜＜－．從而＜|A1B1|＜2． 　　(3)令F(x)＝f(x)－g(x)＝ax2－(2a＋c)x＋a＋2c，因?yàn)閤≤－，所以x2≥3，且－x≥＞1．又因?yàn)?a＋c＞0，所以－x(2a＋c)≥2a＋c．所以F(x)＞3a＋(2a＋c)＋(a＋2c)＝3(2a＋c)＞0．即F(x)＞0，所以當(dāng)x≤－時(shí)，恒有f(x)＞g(x)．