Question

解答題

設f(x)＝x²＋bx＋c(b，c為常數(shù))，方程f(x)－x＝0的兩個實根為x₁，x₂，且滿足x₁＞0，x₂－x₁＞1．

(1)求證：b²＞2(b＋2c)；

(2)設0＜t＜x₁，比較f(t)與x₁的大小；

(3)當x∈[－1，1]時，對任意x都有|f(x)|≤1，

求證：|1＋b|≤2．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)∵方程f(x)－x＝0的兩根為x1，x2，因而有(x2－x1)2＝b2－2b＋1－4c． 　　又x2－x1＞0，∴b2－2b＋1－4c＞1，∴b2＞2(b＋2c)． 　　(2)∵x1是方程f(x)－x＝0的根，∴x1＝f(x1)， 　　∴f(t)－x1＝f(t)－f(x1)＝(t－x1)(t＋x1＋b)＝(t－x1)(t＋1－x2)， 　　∵x1＋x2＝1－b，∴0＜t＜x1，∴t－x1＜0， 　　又x2－x1＞1，即x1＋1－x2＜0， 　　∴t＋1－x2＜x1＋1－x2＜0，故f(t)－x1＞0． 　　(3)∵x∈[－1，1]時，但有|f(x)|≤1， 　　∴|f(0)|＝|c|≤1，|f(1)|＝|1＋b＋c|≤1， 　　從而|1＋b|＝|1＋b＋c－c|≤|1＋b＋c|＋|－c|＝|1＋b＋c|＋|c|≤1＋1≤2．