Question

（2007•閘北區一模）已知函數f（x）=ax+b，當x∈[a₁，b₁]時f（x）的值域為[a₂，b₂]，當x∈[a₂，b₂]時f（x）的值域為[a₃，b₃]，…依此類推，一般地，當x∈[a_n-1，b_n-1]時f（x）的值域為[a_n，b_n]，其中a、b為常數且a₁=0，b₁=1
（1）若a=1，求數列{a_n}，{b_n}的通項公式．
（2）若a＞0且a≠1，要使數列{b_n}是公比不為1的等比數列，求b的值．
（3）若a＜0，設數列{a_n}，{b_n}的前n項和分別為S_n，T_n，求（T₁+T₂+…+T₂₀₀₀）-（S₁+S₂+…+S₂₀₀₀）的值．

Answer 1

分析：（1）a=1時，f（x）=x+b在R上是增函數，由題意知，a_n=f（a_n-1）=a_n-1+b，b_n=f（b_n-1）=b_n-1+b，從而可判斷{a_n}、{b_n}都是公差為b的等差數列．根據等差、等比數列的通項公式及a₁=0，b₁=1可得兩數列的通項公式；
（2）易知f（x）=ax+b在R上也是增函數，由已知有b_n=f（b_n-1）=ab_n-1+b（n≥2），可變形為：

bn

bn-1

=a+

b

bn-1

，若有{b_n}是公比不為1的等比數列，則

b

bn-1

是常數，由此可得b值；
（3）易知f（x）=ax+b在R上是減函數，由已知可得，b_n=f（a_n-1）=a•a_n-1+b，a_n=f（b_n-1）=a•b_n-1+b，則b_n-a_n=-a（b_n-1-a_n-1）（n≥2），易知，{b_n-a_n}是以1為首項，-a為公比的等比數列，
可得b_n-a_n，從而可求T_n-S_n，則可求得，（T₁+T₂+…+T₂₀₀₀）-（S₁+S₂+…+S₂₀₀₀）=（T₁-S₁）+（T₂-S₂）+…+（T₂₀₀₀-S₂₀₀₀）的值；

解答：解：（1）a=1時，f（x）=x+b在R上是增函數，
由已知，當n≥2時，x∈[a_n-1，b_n-1]，f（x）的值域是[a_n，b_n]，
∴a_n=f（a_n-1）=a_n-1+b，b_n=f（b_n-1）=b_n-1+b，
∴{a_n}、{b_n}都是公差為b的等差數列．
∵a₁=0，b₁=1，
∴a_n=（n-1）b，b_n=（n-1）b+1；
（2）∵a＞0，a≠1，
∴f（x）=ax+b在R上也是增函數，
由已知有b_n=f（b_n-1）=ab_n-1+b，即b_n=ab_n-1+b（n≥2），
∴

bn

bn-1

=a+

b

bn-1

，
若{b_n}是公比不為1的等比數列，則

b

bn-1

是常數，所以b=0；
（3）∵a＜0，∴f（x）=ax+b在R上是減函數，
由已知可得，b_n=f（a_n-1）=a•a_n-1+b，a_n=f（b_n-1）=a•b_n-1+b，
∴b_n-a_n=-a（b_n-1-a_n-1）（n≥2），
∴{b_n-a_n}是以1為首項，-a為公比的等比數列，
∴b_n-a_n=（-a）^n-1，
∴T_n-S_n=（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+…+（b_n-a_n）=

n，a=-1 1-(-a)n 1+a ，a≠-1

，
于是，（T₁+T₂+…+T₂₀₀₀）-（S₁+S₂+…+S₂₀₀₀）
=（T₁-S₁）+（T₂-S₂）+…+（T₂₀₀₀-S₂₀₀₀）
=

2001000，a=-1 2000+2001a-a2001 (1+a)2 ，a＜0，a≠-1

．

點評：本題考查等差等比數列的通項公式、數列求和等知識，考查學生綜合運用知識分析解決問題的能力，難度較大．