Question

已知雙曲線C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F₂，離心率為3，直線y=2與C的兩個交點間的距離為．
（I）求a，b；
（II）設過F₂的直線l與C的左、右兩支分別相交于A、B兩點，且|AF₁|=|BF₁|，證明：|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等比數列．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題設，可由離心率為3得到參數a，b的關系，將雙曲線的方程用參數a表示出來，再由直線建立方程求出參數a即可得到雙曲線的方程；
（II）由（I）的方程求出兩焦點坐標，設出直線l的方程設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將其與雙曲線C的方程聯立，得出x₁+x₂=，，再利用|AF₁|=|BF₁|建立關于A，B坐標的方程，得出兩點橫坐標的關系，由此方程求出k的值，得出直線的方程，從而可求得：|AF₂|、|AB|、|BF₂|，再利用等差數列的性質進行判斷即可證明出結論．
解答：解：（I）由題設知=3，即=9，故b²=8a²
所以C的方程為8x²-y²=8a²
將y=2代入上式，并求得x=±，
由題設知，2=，解得a²=1
所以a=1，b=2
（II）由（I）知，F₁（-3，0），F₂（3，0），C的方程為8x²-y²=8    ①
由題意，可設l的方程為y=k（x-3），|k|＜2代入①并化簡得（k²-8）x²-6k²x+9k²+8=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁≤-1，x₂≥1，x₁+x₂=，，于是
|AF₁|==-（3x₁+1），
|BF₁|==3x₂+1，
|AF₁|=|BF₁|得-（3x₁+1）=3x₂+1，即
故=，解得，從而=-
由于|AF₂|==1-3x₁，
|BF₂|==3x₂-1，
故|AB|=|AF₂|-|BF₂|=2-3（x₁+x₂）=4，|AF₂||BF₂|=3（x₁+x₂）-9x₁x₂-1=16
因而|AF₂||BF₂|=|AB|²，所以|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等比數列
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合關系，考查了運算能力，題設條件的轉化能力，方程的思想運用，此類題綜合性強，但解答過程有其固有規律，一般需要把直線與曲線聯立利用根系關系，解答中要注意提煉此類題解答過程中的共性，給以后解答此類題提供借鑒．