Question

（A題）已知點P是圓x²+y²=4上一動點，直線l是圓在P點處的切線，動拋物線以直線l為準線且恒經過定點A（-1，0）和B（1，0），則拋物線焦點F的軌跡為

1. A.
   圓
2. B.
   橢圓
3. C.
   雙曲線
4. D.
   拋物線

Answer 1

B
分析：如圖所示，利用拋物線的定義可得：|AF|=|AM|，|BF|=|BN|；再利用直線與圓相切的性質和梯形的中位線定理可得|AM|+|BN|=2|OP|=4，再根據橢圓的定義即可得出．
解答：如圖所示，
過點A、B分別作AM⊥l，BN⊥l，垂直為M，N．
根據拋物線的定義可得：|AF|=|AM|，|BF|=|BN|，
∴|AF|+|BF|=|AM|+|BN|．
連接OP，則OP⊥l，∴AM∥OP∥BN，
∵O是線段AB的中點，∴OP是梯形ABNM的中位線，
∴|AF|+|BF|=2|OP|=4＞2=|AB|，
∴根據橢圓的定義可得，點F的軌跡是以點A，B為焦點，2a=4為長軸長的橢圓．
故選B．
點評：熟練掌握圓錐曲線的定義、直線與圓相切的性質和梯形的中位線定理是解題的關鍵．