Question

【題目】設函數f（x）=ax3﹣3x+1（x∈R），若對于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，則實數a的值為 ．

Answer 1

【答案】4
【解析】解：由題意，f′（x）=3ax2﹣3， 當a≤0時3ax2﹣3＜0，函數是減函數，f（0）=1，只需f（1）≥0即可，解得a≥2，與已知矛盾，
當a＞0時，令f′（x）=3ax2﹣3=0解得x=± ，
①當x＜﹣ 時，f′（x）＞0，f（x）為遞增函數，
②當﹣ ＜x＜ 時，f′（x）＜0，f（x）為遞減函數，
③當x＞ 時，f（x）為遞增函數．
所以f（ ）≥0，且f（﹣1）≥0，且f（1）≥0即可
由f（ ）≥0，即a ﹣3 +1≥0，解得a≥4，
由f（﹣1）≥0，可得a≤4，
由f（1）≥0解得2≤a≤4，
綜上a=4為所求．
所以答案是：4．
【考點精析】關于本題考查的函數的最大(小)值與導數，需要了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．