Question

【題目】如圖,已知OPQ是半徑為1,圓心角為θ的扇形,A是扇形弧PQ上的動(dòng)點(diǎn),AB∥OQ,OP與AB交于點(diǎn)B,AC∥OP,OQ與AC交于點(diǎn)C.

(1)當(dāng)θ=時(shí),求點(diǎn)A的位置,使矩形ABOC的面積最大,并求出這個(gè)最大面積;

(2)當(dāng)θ=時(shí),求點(diǎn)A的位置,使平行四邊形ABOC的面積最大,并求出這個(gè)最大面積.

Answer 1

【答案】（1）A點(diǎn)在的中點(diǎn)時(shí),矩形ABOC面積最大,最大面積為；（2）當(dāng)A是的中點(diǎn)時(shí),平行四邊形面積最大,最大面積為.

【解析】試題分析：（1）若θ=，由題意得OB=cos α,AB=sin α.求得矩形面積S=OB·AB=sin αcos α，即可得最值；

（2）當(dāng)θ=時(shí)，連接OA,設(shè)∠AOP=α,過(guò)A點(diǎn)作AH⊥OP,垂足為H，

試題解析：

(1)連接OA,設(shè)∠AOB=α,

則OB=cos α,AB=sin α.

∴矩形面積S=OB·AB=sin αcos α.

∴S=sin 2α.

由于0<α<,

∴當(dāng)2α=,即α=時(shí),S最大=.

∴A點(diǎn)在的中點(diǎn)時(shí),矩形ABOC面積最大,最大面積為.

(2)連接OA,設(shè)∠AOP=α,過(guò)A點(diǎn)作AH⊥OP,垂足為H.在Rt△AOH中,AH=sin α,OH=cos α.

在Rt△ABH中, =tan 60°=,∴BH=sin α.

∴OB=OH-BH=cos α-sin α.

設(shè)平行四邊形ABOC的面積為S,

則S=OB·AH=sin α

=sin αcos α-sin2α=sin 2α- (1-cos 2α)

=sin 2α+cos 2α-

=

=sin.

由于0<α<,

∴當(dāng)2α+,

即α=時(shí),S最大=.

∴當(dāng)A是的中點(diǎn)時(shí),平行四邊形面積最大,最大面積為.