Question

【題目】如圖所示，拋物線的焦點為.

（1）求拋物線的標準方程；

（2）過的兩條直線分別與拋物線交于點，與，（點，在軸的上方）.

①若，求直線的斜率；

②設直線的斜率為，直線的斜率為，若，求證：直線過定點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據焦點可確定p,即可寫出方程（2）①設，，利用向量關系得，代入拋物線方程，可得,，結合F(1,0)即可求出斜率. ②根據可得 ，當存在時，設直線：，聯立拋物線方程，得，根據可得，代入直線方程即可求出定點，當當不存在時，檢驗過定點即可.

（1）因為，所以p=2,

所以方程為

（2）法一：，，

得

代入得，則，,

法二:由 ①

得，代入①求，

而，得

法三:利用拋物線的定義轉化為到準線的距離，得

（3），得

，同理 ①

代入①得

,又有

而

當存在時，設直線：

得：

得

過定點

當不存在時，檢驗得過定點。

綜上所述，直線過定點。