Question

【題目】有一個墻角，兩墻面所成二面角的大小為有一塊長為米，寬為米的矩形木板．用該木板檔在墻角處，木板邊緊貼墻面和地面，和墻角、地面圍成一個直角三棱柱儲物倉．

（1）當為多少米時，儲物倉底面三角形面積最大？

（2）當為多少米時，儲物倉的容積最大？

（3）求儲物倉側面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）設 ，討論和兩種情況，利用利用基本不等式得出底面三角形的面積的最大值；
（2）設 ，討論和兩種情況，利用利用基本不等式得出三棱柱的體積的最大值；
（3）設 ，討論和兩種情況，利用利用基本不等式得三棱柱的側面積的最大值．

解：如圖所示：

（1）設 ，
①若，則 ，
∴ ，當且僅當時取等號．
∴ ，

②若，同理可得，當且僅當時取等號．

又，故當，時，儲物倉底面三角形ABC的面積最大，
此時，為等腰三角形， 。

（2）設 ，

①若，由（1）①可知儲物倉的容積,

②若，由（1）②可知儲物倉的容積,

又 ，

，

由（1）可知當時，儲物倉的容積最大．

（3）設 ，

①若，則由余弦定理可得 ，

，即 ，

又 ，

解得： ，當且僅當時取等號．

∴儲物倉的側面積為 ，

②若，同理可得儲物倉的側面積為 ，

綜上，儲物倉的側面積的最大值為。