Question

【題目】已知函數．

（1）當 ，求函數的極小值；

（2）已知函數在處取得極值，求證：；

（3）求函數的零點個數．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析；

【解析】

(1)當令 ，解得．即可得出函數的單調性極值點．

(2)，函數 在處取得極值，可得 ，解得：或時，不滿足條件，舍去，因此，即可證明．

（3） 時，; 時，;

①，解得： ，此時有兩個不相等的實數根．即函數 有兩個極值點．設．對與與0的大小關系即可得出函數零點的個數．②，解得：或，此時，函數在上單調遞增，即可得出函數在上零點的個數．

（1）當 ，.

,

令，解得，或，

可得：函數在 上單調遞增，在上單調遞減，

∴時函數取得極小值， 。

（2） ，

∵函數在取得極值，

∴ ，

（3） ，

，

時，; 時，;

①，解得：或 ，此時有兩個不相等的實數根．即函數有兩個極值點．設．

時，可得：函數在上只有一個零點。

時，可得：函數在上有兩個零點。

時，可得：函數在上有三個零點。

時，可得：函數在上有兩個零點。

時，可得：函數在上只有一個零點。

② ，解得： ，此時 ，函數 在 上單調遞增，時，; 時，;可得：函數在上只有一個零點。