Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，底面，是上的點．

（1）求證：平面；

（2）設，若是的中點，且直線與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）由平面平面，得出，再根據勾股定理，證得，再利用線面垂直的判定定理，即可證明平面；（2）以為原點，建立空間直角坐標系，設為平面的法向量，由，求得平面的一個法向量，再利用向量的運算，即可得二面角為銳角余弦值．

試題解析：（1）證明：∵平面平面，

∴，

由題意知，

∴，∴，

∴，又，

∴平面

（2）解：以為原點，建立空間直角坐標系如圖所示，

則，設，

則，

設為平面的法向量，則，

即，取，則．

設直線與平面所成角為，

依題意，，

則或（舍），

由（1）知，

∴平面，∴為平面的法向量，

當時，，

易得二面角為銳角，所以其余弦值為