Question

【題目】已知函數 f（x）= （a＞0且a≠1）
（1）若a=2，解不等式f（x）≤5；
（2）若函數f（x）的值域是[4，+∞），求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數 f（x）= （a＞0且a≠1），

∴a=2時， ，

∵f（x）≤5，

∴當x≤2時，﹣x+6≤5，解得x≥1，∴1≤x≤2；

當x＞2時，3+log2x≤5，解得x≤4，∴2＜x≤4．

應用 綜上，不等式f（x）＜5的解集為{x|1≤x≤4}

（2）解：∵函數 f（x）= （a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），

∴當x≤2時，f（x）=﹣x+6≥4，解得x≤2，∴x=2時，f（x）=﹣x+6=4；

當x＞2時，f（x）=3+logax≥4，∴logax≥1，

當0＜a＜1時，x≤a，由x＞2，得a≥2，無解；

當a＞1時，x≥a，由x＞2，得a≤2，∴1＜a≤2．

∴實數a的取值范圍是（1，2]

【解析】本題考查的是分段函數的值域應用問題以及對數函數的單調性。