Question

【題目】若函數f（x）=ax3﹣bx+4，當x=2時，函數f（x）有極值為 ， （Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）=k有3個解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=3ax2﹣b 由題意； ，解得 ，
∴所求的解析式為
（Ⅱ）由（1）可得f′（x）=x2﹣4=（x﹣2）（x+2）
令f′（x）=0，得x=2或x=﹣2，
∴當x＜﹣2時，f′（x）＞0，當﹣2＜x＜2時，f′（x）＜0，當x＞2時，f′（x）＞0
因此，當x=﹣2時，f（x）有極大值 ，
當x=2時，f（x）有極小值 ，
∴函數 的圖象大致如圖．

由圖可知： ．
【解析】（1）先對函數進行求導，然后根據f（2）=﹣ ．f'（2）=0可求出a，b的值，進而確定函數的解析式．（2）根據（1）中解析式然后求導，然后令導函數等于0求出x的值，然后根據函數的單調性與其導函數的正負之間的關系確定單調性，進而確定函數的大致圖象，最后找出k的范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)，還要掌握函數的極值與導數(求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值)的相關知識才是答題的關鍵．