Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，平面ABPM⊥平面ABCD，PB⊥AB，MA∥PB，PB=AB=2MA
（1）證明：DC⊥平面PBC
（2）AC∥平面PMD．

Answer 1

【答案】分析：（1）由面ABPM⊥平面ABCD，PB⊥AB，借助于面面垂直的性質定理可得PB垂直于底面ABCD，則PB垂直于DC，根據底面是正方形得到DC垂直于BC，由線面垂直的判定定理可得結論；
（2）由PB=2MA，可想到取PD和BD中點E，O，再借助于三角形的中位線性質可得四邊形AOEM為平行四邊形，即能證明
AC平行于平面PMD內的一條直線，從而證得結論．
解答：證明：（1）如圖，
∵平面ABPM⊥平面ABCD，平面ABPM∩平面ABCD=AB，
又PB⊥AB，PB?平面ABPM，∴PB⊥平面ABCD．
又DC?平面ABCD，∴PB⊥DC，
又四邊形ABCD是正方形，∴DC⊥BC，
而PB∩BC=B，∴DC⊥平面PBC； 
（2）連結AC，BD交于點O，取PD的中點為E，連結OE，
在△PBD中，OE∥PB，OE=PB，
又MA∥PB，AM=PB，所以AOEM是平行四邊形，
∴AO∥ME，AC?平面PMD，ME?平面PMD，∴AC∥平面PMD．
點評：本題考查了直線與平面垂直的判定，考查了直線與平面平行的判定，考查了學生的空間想象和思維能力，解答的關鍵是尋求判定定理成立的條件，是中檔題．