Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的離心率為，且過點. 為橢圓的右焦點， 為橢圓上關于原點對稱的兩點，連接分別交橢圓于兩點.

⑴求橢圓的標準方程；

⑵若，求的值；

⑶設直線， 的斜率分別為， ，是否存在實數，使得，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2） （3）

【解析】試題分析：（1）；（2）由橢圓對稱性，知，所以，此時直線方程為，故． （3）設，則，通過直線和橢圓方程，解得， ，所以，即存在。

試題解析：

（1）設橢圓方程為，由題意知：

解之得： ，所以橢圓方程為：

（2）若，由橢圓對稱性，知，所以，

此時直線方程為，

由，得，解得（舍去），

故．

（3）設，則，

直線的方程為，代入橢圓方程，得

　　　　　，

因為是該方程的一個解，所以點的橫坐標，

又在直線上，所以，

同理， 點坐標為， ，

所以，

即存在，使得．