Question

【題目】已知數列{an}的前n項和Sn=3n+m（m為常數，n∈N+）
（1）求a1 ， a2 ， a3；
（2）若數列{an}為等比數列，求常數m的值及an；
（3）對于（2）中的an ， 記f（n）=λa2n+1﹣4λan+1﹣7，若f（n）＜0對任意的正整數n恒成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：a1=S1=2+m，

由S2=a1+a2，得a2=2，

由S3=a1+a2+a3，得a3=4

（2）解：∵a1=a+2，當n≥2時， ，

又{an}為等比數列，∴a1=1，

即m+2=1，得m=﹣1，

故

（3）解：∵ ，∴f（n）=λ22n﹣4λ2n﹣7，

令t=2n，則t≥2，f（n）=λt2﹣4λt﹣7=λ（t﹣2）2﹣4λ﹣7，

設g（t）=λ（t﹣2）2﹣4λ﹣7，

當λ=0時，f（n）=﹣7＜0恒成立，

當λ＞0時，g（t）=λ（t﹣2）2﹣4λ﹣7對應的點在開口向上的拋物線上，

∴f（n）＜0不可能恒成立，

當λ＜0時，g（t）=λ（t﹣2）2﹣4λ﹣7在t≥2時有最大值﹣4λ﹣7，

∴要使f（n）＜0對任意的正整數n恒成立，

只需﹣4λ﹣7＜0，即 ，此時 ，

綜上實數λ的取值范圍為 ．

【解析】（1）由 ，能求出a1 ， a2 ， a3 ． （2）由a1=a+2，當n≥2時， ，{an}為等比數列，求出a1=1，由此能求出常數m的值及an ． （3）由 ，得f（n）=λ22n﹣4λ2n﹣7，令t=2n ， 則t≥2，f（n）=λt2﹣4λt﹣7=λ（t﹣2）2﹣4λ﹣7，設g（t）=λ（t﹣2）2﹣4λ﹣7，由此能求出實數λ的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等比數列的通項公式（及其變式）的相關知識，掌握通項公式：，以及對數列的前n項和的理解，了解數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．