Question

在區間D上，如果函數f（x）為增函數，而函數為減函數，則稱函數f（x）為“弱增函數”．已知函數f（x）=1-．
（1）判斷函數f（x）在區間（0，1]上是否為“弱增函數”；
（2）設x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁≠x₂，證明：|f（x₂）-f（x₁）|＜；
（3）當x∈[0，1]時，不等式1-ax≤≤1-bx恒成立，求實數a，b的取值范圍．

Answer 1

解：（1）顯然f（x）在區間上為增函數（0，1]，
因為=====，
所以在區間（0，1]上為減函數．
所以f（x）在區間（0，1]上為“弱減函數”．

（2）證法1：要證|f（x₂）-f（x₁）|＜，不妨設0≤x₁＜x₂，
由f（x）=1-在[0，+∞）單調遞增，
得f（x₂）＞f（x₁），
那么只要證f（x₂）-f（x₁）＜，
即證f（x₂）-＜f（x₁）-．
令g（x）=f（x）-，則問題轉化為只要證明g（x）=f（x）-在[0，+∞）單調遞減即可．
事實上，g（x）=f（x）-=1--，
當x∈[0，+∞）時，g′（x）=-≤0，
所以g（x）=f（x）-在[0，+∞）單調遞減，
故命題成立．
證法2：|f（x₂）-f（x₁）|==
=，
因為x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁≠x₂，＞2，
所以|f（x₂）-f（x₁）|＜．

（3）當x∈[0，1]時，不等式1-ax≤≤1-bx恒成立．
當x=0時，不等式顯然成立．
當x∈（0，1]時，等價于恒成立．
由（1）知為減函數，1-≤＜，
所以a≥且b≤1-．
分析：（1）根據弱增函數的定義，只需證明函數f（x）在區間（0，1]上是增函數，而函數為減函數，即可；
（2）證法1：要證|f（x₂）-f（x₁）|＜，不妨設0≤x₁＜x₂，構造函數g（x）=f（x）-，利用導數證明該函數在（0，+∞）單調遞減即可證明結論；
證法2：把f（x）=1-代入|f（x₂）-f（x₁）|，利用分母有理化，即可證明結論；
（3）要解）當x∈[0，1]時，不等式1-ax≤≤1-bx恒成立，利用分離參數轉化為當x∈（0，1]時，等價于恒成立，即可求得實數a，b的取值范圍．
點評：此題是個難題．考查基本初等函數的單調性，以及構造函數證明不等式和恒成立問題，綜合性強，方法靈活，很好的考查了同學們觀察、推理以及創造性地分析問題、解決問題的能力．