Question

【題目】拋物線的焦點為上任一點在軸上的射影為中點為，．

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）直線過與從下到上依次交于，與交于，直線過與從下到上依次交于，與交于，，的斜率之積為，設的面積分別為，是否存在使得成等比數列？若存在，求的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）； （2）存在，證明見解析.

【解析】

（1）求出拋物線焦點坐標，設，則，再設，由，可得與坐標的關系，再由在拋物線上求得動點的軌跡的方程；(2)存在,使得成等比數列，的斜率存在，分別設為，則，，利用三角形面積公式，結合韋達定理分別求出的面積，求得、.即可得到,進而得解。

（1）由拋物線，得，設，則，

再設，

由，

得，

，則，

在拋物線上，

，即；

（2）存在，使得成等比數列.

證明如下：由題意可知，的斜率存在，分別設為，則，

直線

聯立，得.

設.

則，同理，

設，

則

.

聯立，可得，得，

則，同理.

.

，

成等比數列，

存在，使得成等比數列.