Question

設動點到定點的距離比它到軸的距離大1，記點的軌跡為曲線.
（1）求點的軌跡方程；
（2）設圓過，且圓心在曲線上，是圓在軸上截得的弦，試探究當運動時，弦長是否為定值？為什么？

Answer 1

（1）曲線方程是
（2）當運動時，弦長為定值4

（1）依題意知，動點到定點的距離等于到直線的距離，曲線是以原點為頂點，為焦點的拋物線………………………………2分
　　　　∵     ∴　
∴　曲線方程是………4分
（2）設圓的圓心為，∵圓過，
∴圓的方程為　　……………………………7分
令得：　　
設圓與軸的兩交點分別為，
方法1：不妨設，由求根公式得
，…………………………10分
∴
又∵點在拋物線上，∴，
∴　，即＝4--------------------------------------------------------13分
∴當運動時，弦長為定值4…………………………………………………14分
　〔方法2：∵，　
∴
　又∵點在拋物線上，∴，∴　　
∴當運動時，弦長為定值4〕