Question

【題目】已知數列的奇數項是首項為1的等差數列，偶數項是首項為2的等比數列.設數列的前n項和為且滿足

（1）求數列的通項公式；

（2）若求正整數的值；

（3）是否存在正整數，使得恰好為數列的一項？若存在，求出所有滿足條件的正整數；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在兩個正整數；1或2

【解析】

（1）設的奇數項構成的等差數列的公差為，偶數項構成的等比數列的公比為，運用通項公式，解方程可得，，即可得到所求通項公式；（2）當為奇數時，當為偶數時，運用通項公式，解方程可得的值；（3）求得，，若為數列中的一項，整理化簡求得，的值，再由數學歸納法證明，即可得到結論．

（1）設的奇數項構成的等差數列的公差為偶數項構成的等比數列的公比為則

由已知，得

故數列的通項公式為：

（2）當k為奇數時，由得

由于而僅在時為正整數，與為奇數矛盾！

當k為偶數時，由得

綜上，得

（3）由（1）可求得

若為數列中的一項，則（為正奇數）或（為正偶數）

（i）若（為正奇數），則

當時，，結論成立；

當時，由得解得

由于為正奇數，故此時滿足條件的正整數k不存在.

（ii）若（為正偶數），

顯然，則

由得得

由為正偶數得為正偶數，因此，從而

當時，；下面用數學歸納法證明：當時，

①當時，顯然；

②假設當 時，有 ；則當 時，

由得，

故

即時，結論成立.

由①，②知：時，

綜合（i），（ii）得：存在兩個正整數,1或2，使為數列中的項.