Question

已知m∈R，設p：不等式|m²-5m-3|≥3；q：函數f（x）=x³+mx²+（m+

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3

）x+6在（-∞，+∞）上有極值．求使p且q為真命題的m的取值范圍．

Answer 1

分析：對于P命題要利用含絕對值不等式進行等價轉化，并準確利用一元二次不等式求出m的范圍；對于q命題利用導函數的圖象為二次函數，進而得到原來函數在實數集有極值的m的范圍，再利用復合命題真假值表即可求解

解答：解：由已知不等式得
m²-5m-3≤-3①
或m²-5m-3≥3②
不等式①的解為0≤m≤5；
不等式②的解為m≤-1或m≥6．
所以，當m≤-1或0≤m≤5或m≥6時，p為真命題．
對函數f（x）=x3+mx2+(m+

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)x+6求導得，
f′（x）=3x²+2mx+m+

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3

令f′（x）=0，即3x²+2mx+m+

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=0，
當且僅當△＞0時，函數f（x）在（-∞，+∞）上有極值．
由△=4m²-12m-16＞0得m＜-1或m＞4，
所以，當m＜-1或m＞4時，q為真命題．
綜上所述，使p且q為真命題時，實數m的取值范圍為
（-∞，-1）∪（4，5]∪[6，+∞）．

點評：該題重點考查了復合命題真假值表，另外又考了含絕對值不等式及一元二次不等次解法，在q命題真假的判斷上有考查了導函數為二次函數的一元三次函數在實數集R存在極值的充要條件