Question

設，函數，．
（I）試討論函數的單調性
（II）設，求證：有三個不同的實根．

Answer 1

當時，函數在上遞減，在上遞增，在上遞減；
當時，函數在上是減函數；
當時，函數在上遞增，在上遞減，在上遞增．

解：（Ⅰ）∵．           ……………2分
∴當時，方程的解為：或時無解，時為，
當時，方程的解為：時無解，時為．
∴當時，函數在上遞減，在上遞增，在上遞減；
當時，函數在上是減函數；
當時，函數在上遞增，在上遞減，在上遞增．                             　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………7分
（Ⅱ）∵，由（Ⅰ）可知，的取值隨著x的變化如下：

∴當時，極小值為，
當，極大值為．　　　　　　　　……………10分
∵，∴，
∴極小，極大值為，
因此，時，方程一定有三個不同的實根．…………12分