Question

設函數.
（Ⅰ）求f (x)的單調區間；
（Ⅱ）若當時，不等式f (x)<m恒成立，求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）若關于x的方程在區間[0, 2]上恰好有兩個相異的實根，求實數a的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）f (x)的遞增區間是，遞減區間是（-1, 0）
（Ⅱ）當時，不等式f (x)<m恒成立.（Ⅲ）a的取值范圍是

（Ⅰ）函數的定義域為（-1, +∞）.…………………………………………… 1分
∵, 
由，得x>0；由，得.…………………3分
∴f (x)的遞增區間是，遞減區間是（-1, 0）.………………… 4分
（Ⅱ）∵由，得x=0,x=-2（舍去）
由（Ⅰ）知f (x)在上遞減，在上遞增. 
高三數學（理科）答案第3頁（共6頁）
又，, 且.
∴當時，f (x)的最大值為.
故當時，不等式f (x)<m恒成立.……………………………… 9分
（Ⅲ）方程, .
記,
∵,  
由,得x>1或x<-1（舍去）.  由, 得.
∴g(x)在[0,1]上遞減, 在[1,2]上遞增.
為使方程在區間[0, 2]上恰好有兩個相異的實根，
只須g(x)=0在[0,1]和上各有一個實數根,于是有
∵, 
∴實數a的取值范圍是.