Question

己知橢圓C：（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（1，0），點(diǎn)A（2，0）在橢圓C上，過F點(diǎn)的直線與橢圓C交于不同兩點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)直線斜率為1，求線段的長(zhǎng)；

（3）設(shè)線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)P（0，y0），求的取值范圍.

 

Answer 1

（1）橢圓C的方程；（2）線段的長(zhǎng)為；（3）的取值范圍是.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)橢圓的右焦點(diǎn)為F（1，0），點(diǎn)A（2，0）在橢圓C上，代入即可求得橢圓C的方程；（2）先用點(diǎn)斜式寫出直線方程，再和橢圓方程聯(lián)立，用弦長(zhǎng)公式即可求出線段的長(zhǎng)為；（3）當(dāng)軸時(shí)，顯然.當(dāng)與軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線的方程為,把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為，，表示出，聯(lián)立即可求出的取值范圍.

試題解析：（1）由題意：，，

，

所求橢圓方程為. 3分

（2）由題意，直線l的方程為：.

由得，

所以. 7分

（3）當(dāng)軸時(shí)，顯然.

當(dāng)與x軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線的方程為.

由消去y整理得.

設(shè)，，線段MN的中點(diǎn)為，

則.

所以，

線段MN的垂直平分線方程為

在上述方程中令x＝0，得.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以，或.

綜上，的取值范圍是. 10分

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系、函數(shù)與方程思想.