Question

（本題滿分14分）如圖，正方形、的邊長都是1，平面平面，點在上移動，點在上移動，若（）

（I）求的長；
（II）為何值時，的長最小；
（III）當的長最小時，求面與面所成銳二面角余弦值的大小.

Answer 1

(1)
(2)
(3)

解：（Ⅰ）作MP∥AB交BC于點P，NQ∥AB交BE于點Q，連結PQ，依題意可得MP∥NQ，且MP=NQ，

即MNQP是平行四邊形，∴  MN="PQ."
由已知，CM=BN=a，CB=AB=BE=1，
∴  AC=BF=，

即 

                         ………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ），所以，當
即M、N分別移動到AC、BF的中點時，MN的長最小，最小值為 ………………9分
（Ⅲ）取MN的中點G，連結AG、BG，
∵  AM=AN，BM=BN，G為MN的中點
∴  AG⊥MN，BG⊥MN，∠AGB即為二面角A-MN-B的平面角，
又AG=BG=，所以，由余弦定理有

             
∴ 所求余弦值為               …14分