Question

【題目】如果f（x）是定義在R上的函數，且對任意的x∈R，均有f（-x）≠-f（x），則稱該函數是“X—函數”.

（1）分別判斷下列函數：①y=；②y=x+1；③y=x2+2x-3是否為“X—函數”？（直接寫出結論）

（2）若函數f（x）=x-x2+a是“X—函數”，求實數a的取值范圍；

（3）設“X—函數”f（x）=在R上單調遞增，求所有可能的集合A與B.

Answer 1

【答案】（1）①②是“X—函數”，③不是“X—函數”.（2）（0，+∞）（3）A=[0，+∞），B=（-∞，0）

【解析】

（1）直接利用信息判斷結果；
（2）利用信息的應用求出參數的取值范圍；
（3）利用函數的單調性的應用和應用的例證求出結果.

（1）①②是“X—函數”，③不是“X—函數”；

（2）∵f（-x）=-x-x2+a，

-f（x）=-x+x2-a，f（x）=x-x2+a是“X—函數”，

∴f（-x）=-f（x）無實數解，

即x2+a=0無實數解，

∴a＞0，

∴a的取值范圍為（0，+∞）；

（3）對任意的x≠0，

若x∈A且-x∈A，則-x≠x，f（-x）=f（x），與f（x）在R上單調增矛盾，舍去；

若x∈B且-x∈B，f（-x）=-f（x），與f（x）是“X—函數”矛盾，舍去；

∴對任意的x≠0，x與-x恰有一個屬于A，另一個屬于B，

∴（0，+∞）A，（-∞，0）B，

假設0∈B，則f（-0）=-f（0），與f（x）是“X—函數”矛盾，舍去；

∴0∈A，

經檢驗，A=[0，+∞），B=（-∞，0）符合題意.