Question

已知非零向量

OA

，

OB

，

OC

滿足：

OA

=a

OB

+β

OC

（a，β∈R），給出下列命題：
①若a=

3

2

，β=-

1

2

，則A、B、C三點共線；
②若a＞0，β＞0，|

OA

|=

3

，|

OB

|=|

OC

|=1，＜

OB

，

OC

＞=

2π

3

，＜

OA

，

OB

＞=

π

2

則a+β=3；
③已知等差數列{a_n}中，a_n＞a_n+1＞0（n∈N^*），a₂=a，a₂₀₀₉=β若A、B、C三點共線，但O點 不在直線BC上，則

1

a3

+

4

a2008

的最小值為9；
④若β≠0，且A、B、C三點共線，則A分

BC

所在的比λ一定為

a

β

．
其中你認為正確的所有命題的序號是

①②③④

．

Answer 1

分析：根據向量共線的充要條件即當

OA

=a

OB

+β

OC

，a+β=1?A、B、C三點共線，可判斷①真假；進而結合等差數列的性質及基本不等式可判斷出③的真假，進而根據定點分線段所成比的定義，可判斷④的真假，另外根據向量數量積運算公式，構造方程求出α，β值，進而判斷出②的真假．

解答：解：根據向量共線的充要條件，可得當

OA

=a

OB

+β

OC

，a+β=1時，A、B、C三點共線，故當a=

3

2

，β=-

1

2

，A、B、C三點共線，故①正確；
∵|

OA

|=

3

，|

OB

|=|

OC

|=1，＜

OB

，

OC

＞=

2π

3

，＜

OA

，

OB

＞=

π

2

，∴

OB

•

OC

=-

1

2

，

OA

•

OB

=0；

OA

²=（a

OB

+β

OC

）²=a²

OB

²+2aβ

OB

•

OC

+β2

OC

2=a²-aβ+β²=3

OA

•

OB

=（a

OB

+β

OC

）•

OB

=a

OB

²+β

OC

•

OB

=a-

1

2

β=0；
又∵a＞0，β＞0，∴a=1，β=2，即a+β=3，故②正確；
A、B、C三點共線，a₂+a₂₀₀₉=a+β=1=a₃+a₂₀₀₈，則

1

a3

+

4

a2008

=（

1

a3

+

4

a2008

）（a₃+a₂₀₀₈）≥1+4+2

a2008 a3 • 4a3 a2008

=9，故③正確；
若A、B、C三點共線，則A分

BC

所在的比λ=

BA

AC

=

OA - OB

OC - OA

=

(α-1) OB +β OC

-α OB +(1-β) OC

=

-β OB +β OC

-α OB +α OC

=

a

β

，故④正確；
故答案為：①②③④

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷，其中熟練掌握向量共線的充要條件即當

OA

=a

OB

+β

OC

，a+β=1?A、B、C三點共線，是解答的關鍵．