Question

（2011•成都一模）已知非零向量

OA

、

OB

、

OC

、

OD

滿足：

OA

=α

OB

Z+β

OC

Z+γ

OD

Z（α，β，γ∈R），B、C、D為不共線三點，給出下列命題：
①若α=

3

2

，β=

1

2

，γ=-1，則A、B、C、D四點在同一平面上；
②若α=β=γ=1，|

OB

Z|+|

OC

|+|

OD

|=1，＜

OB

，

OD

＞=＜

OC

，

OD

＞=

π

2

，＜

OB

，

OC

＞=

π

3

，則|

OA

|=2；
③已知正項等差數列{a_n}（n∈N^*Z），若α=a₂，β=a₂₀₀₉，γ=0，且A、B、C三點共線，但O點不在直線BC上，則

1

a3

+

4

a2008

的最小值為10；
④若α=

4

3

，β=-

1

3

Z，γ=0，則A、B、C三點共線且A分

BC

所成的比λ一定為-4
其中你認為正確的所有命題的序號是

①②

．

Answer 1

分析：①根據空間四點共面的充要條件若

OA

=α

OB

+β

OC

+γ

OD

(α，β，γ∈R)且α+β+γ=1，則A、B、C、D四點在同一平面上；可知①正確；②把

OA

=α

OB

+β

OC

+γ

OD

兩邊平方，結合向量數量積的運算即可求得|

OA

|=2故可知②正確；③根據α=a₂，β=a₂₀₀₉，γ=0，且A、B、C三點共線，可得a₂+a₂₀₀₉=1，利用等差數列的性質可得a₃+a₂₀₀₈=1，利用基本不等式即可求得結果；④根據α=

4

3

，β=-

1

3

，γ=0，得A、B、C三點共線，再算出A分

BC

所成的比λ知④錯．

解答：解：①若α+β+γ=1，則A、B、C、D四點在同一平面上；①正確；
②

OA

=α

OB

+β

OC

+γ

OD

，兩邊平方結合條件得，
|

OA

| 2=α²+β2+γ2+2αβ

OB

•

OC

=1+1+1+1=4，
則|

OA

|=2．故②對；
③若α=a₂，β=a₂₀₀₉，γ=0，且A、B、C三點共線，
∴a₂+a₂₀₀₉=1，∴a₃+a₂₀₀₈=1，則

1

a3

+

4

a2008

=（

1

a3

+

4

a2008

）（a₃+a₂₀₀₈）≥5+4=9．③錯．
④根據α=

4

3

，β=-

1

3

，γ=0，得，

OA

=

4

3

OB

-

1

3

OC

，∴

OA

-

OB

=

1

3

OB

-

1

3

OC

，
∴

BA

=

1

3

CB

，則A、B、C三點共線，
且A分

BC

所成的比λ為-

1

4

．故④錯
故答案為①②．

點評：本題主要考查共面向量和共線向量定理以及利用基本不等式求最值等基礎知識和基本方法，要說明一個命題是真命題，必須給出證明，要說明其是假命題，只要舉出反例即可，同時考查了學生靈活應用知識分析解決問題的能力和計算能力．