Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

m

•

n

，其中

m

=（2cosx，1），

n

=（cosx，

3

sin2x），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，已知f（A）=2，b=1△ABC的面積為

3

2

，求c的值．

Answer 1

分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出關(guān)系式，再利用二倍角的余弦函數(shù)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式即可求出函數(shù)的最小正周期；由正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即可確定出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由f（A）=2，求出A的度數(shù)，再利用三角形面積公式列出關(guān)系式，即可求出c的值．

解答：解：（1）∵

m

=（2cosx，1），

n

=（cosx，

3

sin2x），
∴f（x）=

m

•

n

=2cos²x+

3

sin2x=cos2x+

3

sin2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1，
∵ω=2，∴T=π；
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z；
（2）∵f（A）=2sin（2A+

π

6

）+1=2，即sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
∴2A+

π

6

=

π

6

或2A+

π

6

=

5π

6

，即A=0（舍去）或A=

π

3

，
∵S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

c•

3

2

=

3

2

，
∴c=2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，三角形面積公式，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，正弦函數(shù)的定義域與值域，三角函數(shù)的周期性及其求法，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．