Question

設函數f（x）=

m

•

n

，其中

m

=（cosx，

3

sin2x），

n

=（2cosx，1）．
（1）求函數f（x）的單調增區間；
（2）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，f（A）=2，a=

3

，b+c=3，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）由

m

和

n

的坐標，利用平面向量的數量積運算法則表示出

m

•

n

，利用二倍角的余弦函數公式化簡，再利用特殊角的三角函數值及兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，由正弦函數的單調遞增區間為[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]列出關于x的不等式，求出不等式的解集可得函數f（x）的遞增區間；
（2）由f（A）=2，把x=A代入化簡后的函數f（x）的解析式中求出的函數值等于2，利用特殊角的三角函數值求出A的度數，由a和cosA的值，利用余弦定理列出關于b和c的關系式，與已知b+c的值聯立可得bc的值，再由bc及sinA的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：（1）∵

m

=（cosx，

3

sin2x），

n

=（2cosx，1），
∴f（x）=

m

•

n

=2cos²x+

3

sin2x，（2分）
=cos2x+

3

sin2x+1
=2sin（2x+

π

6

）+1，…（4分）
當2kπ-

π

2

＜2x+

π

6

＜2kπ+

π

2

（k∈Z），
即kπ-

π

3

＜x＜kπ+

π

6

（k∈Z）時，f（x）單調遞增，…（5分）
則f（x）的單調增區間是（kπ-

π

3

，kπ+

π

6

）（k∈Z）；…（6分）
（包含或不包含區間端點均可，但要前后一致）．
（2）∵f（A）=2sin（2A+

π

6

）+1=2，0＜A＜π，…（7分）
∴2A+

π

6

=

5π

6

，即A=

π

3

，…（9分），又a=

3

，
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得：3=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，…（10分）
把b+c=3代入得：bc=2，…（12分）
所以△ABC的面積為S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

．…（13分）

點評：此題考查了余弦定理，平面向量的數量積運算，二倍角的余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的單調性，以及三角形的面積公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．