Question

設二次函數f(x)＝x²+ax+a，方程f(x)-x＝0的兩根x₁和x₂滿足0<x₁<x₂<1.

（1）求實數a的取值范圍；

（2）試比較f(0)·f(1)-f(0)與的大小，并說明理由

Answer 1

（1）令g(x)＝f(x)－x＝x²＋(a－1)x＋a，
則由題意可得
?
?0故所求實數a的取值范圍是(0,3－2)

（2）f·f－f＝gg＝2a²，令h(a)＝2a²，
∵當a>0時，h(a)單調遞增，∴當002＝2(17－12)
＝2·<，即f·f－f<.
法二：同解法一.
∵ff－f＝gg＝2a²，由知
0∴4a－1<12－17<0.又4a＋1>0，于是
2a²－＝(32a²－1)＝(4a－1)(4a＋1)<0，
即2a²－<0，故ff－f<.
法三：方程f(x)－x＝0?x²＋(a－1)x＋a＝0，由韋達定理得x₁＋x₂＝1－a，x₁x₂＝a，于是012<1
??
?0故所求實數a的取值范圍是(0,3－2).
依題意可設g(x)＝(x－x₁)(x－x₂)，則由012<1，得ff－f＝gg＝x₁x₂(1－x₁)(1－x₂)＝[x₁(1－x₁)][x₂(1－x₂)]<²²＝，故ff－f<