Question

設二次函數f(x)＝ax²＋bx+c(a＞0），方程f(x)－x＝0的兩根x₁、x₂滿足0＜x₁＜x₂＜．

（1）當x∈（0，x₁）時，證明x＜f(x)＜x₁；

 

（2）設函數f(x)的圖象關于直線x=x₀對稱；

證明：x₀＜

Answer 1

解：

(1)令F(x)=f(x)-x，由x₁、x₂是方程f(x)-x=0的兩根，有F(x)=a(x－x₁）（x－x₂）

 

當x∈（0，x₁）時，由x₁≤x₂，及a＞0，有F(x)=a(x－x₁）（x－x₂）＞0，?

 

即F(x)=f(x)-x＞0，f(x)＞x．?

 

又x₁－f(x)=x₁－［x＋F（x)］＝x₁－x－a（x－x₁）（x－x₂）＝（x₁－x）［1＋a（x－x₂）］

因為0＜x＜x₁＜x₂＜

 

所以x₁－x＞0，1＋a(x-x₂）＝1＋ax-ax₂＞1-ax₂＞0

 

得x₁＞f(x)，所以x＜f(x)＜x₁；?

 

（2）依題意x₀＝－，因x₁、x₂是f(x)-x=0的根，即x₁、x₂是方程ax²＋(b-1)x+c=0的根.

所以x₁＋x₂＝－，

 

x₀＝－＝＝

 

因為ax₂＜1，即ax₂－1＜0，故x₀＝＜＝．

 

評述：此題考查一元二次方程、二次函數和不等式的基礎知識，考查綜合運用數學知識分析問題和解決問題的能力.考查證明不等式的方法.