Question

已知函數y=f（x）是定義在R上的偶函數，當x≥0時，f（x）=

1

3

x³-4x+4；
（Ⅰ）求函數y=f（x）的單調區間和極值；
（Ⅱ）若方程f（x）=kx-

4

3

在[-3，3]恰有兩個不等實數根，求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出函數的導數，令導數大于0，得增區間．導數小于0，得減區間，進而得到極值，注意偶函數的性質；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到的單調性和k的符號，以及直線恒過的定點，即可得到k的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）因為當x≥0時，f（x）=

1

3

x³-4x+4，
f′（x）=x²-4=（x+2）（x-2），當0＜x＜2時，f′（x）＜0，x＞2時，f′（x）＞0，
即當x≥0時，f（x）的減區間為[0，2]，增區間為[2，+∞），
由y=f（x）為偶函數，則當x≤0時，f（x）的減區間為（-∞，-2]，增區間為[-2，0]，
又f（-2）=f（2）=-

4

3

，f（0）=4．
綜上可得，f（x）的增區間為：[-2，0]，[2，+∞），減區間為：（-∞，-2]，[0，2]．
極大值f（0）=4，極小值f（-2）=f（2）=-

4

3

，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得y=f（x）在[0，2]為減函數，在[2，3]為增函數，
又f（2）=-

4

3

，f（3）=1，f（x）=kx-

4

3

恒過點（0，-

4

3

），
又f（x）=kx-

4

3

過點（3，1）時，k=

7

9

，f（x）=kx-

4

3

過點（2，-

4

3

）時，k=0，
則0≤k≤

7

9

時，集合{xf（x）=kx-

4

3

}有兩個元素，
又y=f（x）是定義在R上的偶函數，
同理可得-

7

9

≤k≤0時，集合{x|f（x）=kx-

4

3

}也有兩個元素，
綜上得實數k的取值范圍是[-

7

9

，

7

9

]．

點評：本題考查函數的性質和運用，考查導數的運用：求單調區間和極值，考查單調性的運用和其偶性的運用，屬于中檔題．