Question

已知橢圓的中心在坐標原點O，長軸長為2

2

，離心率e=

2

2

，過右焦點F的直線l交橢圓于P，Q兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當直線l的斜率為1時，求△POQ的面積；
（3）若以OP，OQ為鄰邊的平行四邊形是矩形，求滿足該條件的直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由已知，設出橢圓的方程，分析可得橢圓長軸長為2

2

，離心率e=

2

2

，可得a、c的值，進而可得b的值，代入所設的橢圓方程即可得答案；
（2）根據題意，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯立兩者方程即

x2+2y2=2 y=x-1

，可得3y²+2y-1=0，解得y1=-1，y2=

1

3

；由三角形面積公式，計算可得答案；
（3）根據題意，分情況討論，①當直線l與x軸垂直時，易得其不合題意，②當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y=k（x-1）．聯立

x2+2y2=2 y=k(x-1)

，可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0；表示出兩根之和、之積；又由y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1）；可得y1y2=

-k2

1+2k2

根據矩形的性質，結合向量的數量積的運算，可得k²=2，可得k的值，進而可得直線的方程．

解答：解：（1）由已知，橢圓方程可設為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
∵長軸長為2

2

，離心率e=

2

2

，
∴b=c=1 ， a=

2

．
所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1．
（2）因為直線l過橢圓右焦點F（1，0），且斜率為1，所以直線l的方程為y=x-1．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

x2+2y2=2 y=x-1

得3y²+2y-1=0，解得y1=-1，y2=

1

3

．
∴S△POQ=

1

2

|OF|•|y1-y2|=

1

2

|y1-y2|=

2

3

．
（3）當直線l與x軸垂直時，直線l的方程為x=1，此時∠POQ小于90°，OP，OQ為鄰邊的平行四邊形不可能是矩形．
當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y=k（x-1）．
由

x2+2y2=2 y=k(x-1)

可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
∴x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

．
∵y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1）
∴y1y2=

-k2

1+2k2

因為以OP，OQ為鄰邊的平行四邊形是矩形?

OP

•

OQ

=0．
由

OP

•

OQ

=x1x2+y1y2=

2k2-2

1+2k2

+

-k2

1+2k2

=0得k²=2，
∴k=±

2

．
∴所求直線的方程為y=±

2

(x-1)．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線的綜合問題是支撐圓錐曲線知識體系的重點內容，問題的解決具有入口寬、方法靈活多樣等，而不同的解題途徑其運算量繁簡差別很大，故此類問題能有效地考查考生分析問題、解決問題的能力，平時應作為重點來復習訓練．