Question

（13分）已知圓和直線．
⑴ 證明：不論取何值，直線和圓總相交；
⑵ 當取何值時，圓被直線截得的弦長最短？并求最短的弦的長度．

Answer 1

24．⑴. 【證明】
方法一：圓的方程可化為：，圓心為，半徑.
直線的方程可化為：，直線過定點，斜率為.
定點到圓心的距離，
∴定點在圓內部，∴不論取何值，直線和圓總相交.
方法二：圓的方程可化為：，圓心為，半徑.
圓心到直線的距離，
，因，，，
故，∴不論取何值，直線和圓總相交.
⑵. 圓心到直線的距離
被直線截得的弦長＝，
當時，弦長；
當時，弦長，下面考慮先求函數的值域.
由函數知識可以證明：函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞減，在上單調遞增（證明略），
故當時，函數在處取得最大值－2；當時，函數在處取得最小值2.
即或，
故或，可得
或，即且，
且，
且.
綜上，當時，弦長取得最小值；當時，弦長取得最大值4.

略