Question

已知復數(shù)z₁=log₂（2^x+1）+ki，z₂=1-xi（其中x，k∈R），記z₁z₂的實部為f（x），若函數(shù)f（x）是關(guān)于x的偶函數(shù)，
（1）求k的值；
（2）求函數(shù)y=f（log₂x）在x∈（0，a]，a＞0，a∈R上的最小值；
（3）求證：對任意實數(shù)m，函數(shù)y=f（x）圖象與直線y=

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x+m的圖象最多只有一個交點．

Answer 1

分析：（1）利用z₁z₂的實部為f（x），求出f（x），通過函數(shù)f（x）是關(guān)于x的偶函數(shù)，求k的值；
（2）利用（1）求出函數(shù)y=f（log₂x）的表達式，化簡后，通過基本不等式，函數(shù)的單調(diào)性求出在x∈（0，a]，a＞0，a∈R上的最小值；
（3）函數(shù)y=f（x）圖象與直線y=

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x+m的圖象最多只有一個交點．轉(zhuǎn)化為方程最多只有一個解，圖象最多只有一個交點，利用函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答：解：（1）z₁z₂=（log₂（2^x+1）+ki）（1-xi）；所以f（x）=log₂（2^x+1）+kx，
因為函數(shù)f（x）是關(guān)于x的偶函數(shù)所以f（-x）=log₂（2^-x+1）-kx=log₂（2^x+1）+kx=f（x），所以2kx=-x，所以k=-

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2

（2）由（1）可知f（x）=log₂（2^x+1）-

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x，
所以y=f（log₂x）=log₂（x+1）-

1

2

log₂x=log2

x+1

x

=

log	( x + 1 x ) 2

，
所以x∈（0，a]，a＞0，a∈R，ymin=

log2( a + 1 a )(0＜a≤1) 1(a＞1)

（3）函數(shù)y=f（x）圖象與直線y=

1

2

x+m的圖象最多只有一個交點，
就是log₂（2^x+1）-

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x=

1

2

x+m最多只有一個解，就是log₂（2^x+1）=x+m最多只有一個解，
因為函數(shù)log₂（2^x+1）是單調(diào)增函數(shù)，x+m也是單調(diào)增函數(shù)，
所以對任意實數(shù)m，函數(shù)y=f（x）圖象與直線y=

1

2

x+m的圖象最多只有一個交點．

點評：本題是中檔題，以復數(shù)為依托，考查函數(shù)的最值的求法，函數(shù)的解與方程的根的知識，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想的應用．