Question

（2008•崇明縣二模）已知復(fù)數(shù)z₁滿足（1+i）z₁=1+3i，z₂=1-ai（a∈R）且|z₁-z₂|＜|z₁|
（1）求復(fù)數(shù)z₁；
（2）求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）化簡復(fù)數(shù)為分式的形式，利用復(fù)數(shù)同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡為a+bi的形式即可得到z₁．
（2）表示出|z₁-z₂|＜|z₁|，根據(jù)模長之間的關(guān)系得到a的關(guān)系式，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）z1=

1+3i

1+i

=2+i
另解：設(shè)z₁=m+ni（m，n∈R）
所以

m-n=1 m+n=3

解得m=2，n=1，所以z₁=2+i
（2）|2+i-（1+ai）|＜|2+i|

1+(1-a)2

＜

5

解得：-1＜a＜3．

點(diǎn)評：本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，復(fù)數(shù)模的求法，考查計(jì)算能力，本題解題的關(guān)鍵是做出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的最簡結(jié)果．