Question

B．已知矩陣M=

12 2x

的一個特征值為3，求另一個特征值及其對應的一個特征向量．
C．在極坐標系中，圓C的方程為ρ=2

2

sin(θ+

π

4

)，以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數方程為

x=t y=1+2t

（t為參數），判斷直線l和圓C的位置關系．

Answer 1

分析：B．先根據特征多項式的公式建立方程，由λ₁=3代入f（λ）=0解出x=1，進而得出另一個特征值λ₂，最后由得到的λ₂值不難求出另一個特征向量；
C．由直線參數方程消去參數t化簡為一般方程，再將⊙C化成直角坐標的標準方程，求出圓心C到直線l的距離，再將這個距離與⊙C半徑比較，即可得到直線l和圓C的位置關系．

解答：解：B．矩陣M的特征多項式為f（λ）=|

λ-1 ，-2 -2 ，λ-x

|=（λ-1）（λ-x）-4…（1分）
因為λ₁=3方程f（λ）=0的一根，所以x=1…（3分）
由（λ-1）（λ-1）-4=0得λ₂=-1，…（5分）
設λ₂=-1對應的一個特征向量為α=

x y

，
則

-2x-2y=0 -2x-2y=0

得x=-y…（8分）
令x=1，則y=-1，
所以矩陣M的另一個特征值為-1，對應的一個特征向量為α=

1 -1

…（10分）
C．直線l的參數方程為

x=t y=1+2t

（t為參數），
消去參數t，得直線l的直角坐標方程為y=2x+1，即2x-y+1=0；…（2分）
ρ=2

2

(sinθ+

π

4

)即ρ=2（sinθ+cosθ），兩邊同乘以ρ得ρ²=2（ρsinθ+ρcosθ），
得⊙C的直角坐標方程為：（x-1）²+（x-1）²=2，…（6分）
圓心C到直線l的距離d=

|2-1+1|

22+12

=

2 5

5

＜

2

，
所以直線l和⊙C相交．…（10分）

點評：本題第一問以求矩陣的特征向量和特征值為例，考查學生對矩陣變換的理解和特征值與特征向量的計算等知識，第二問給出直線與圓的參數方程，求直線與圓的位置關系，著重考查了參數方程與普通方程的互化和直線與圓位置關系等知識，兩題都屬于中檔題．