Question

已知二階矩陣M=（

a 1 0 b

）有特征值λ₁=2及對應的一個特征向量

e

1=

1 1

．
（Ⅰ）求矩陣M；
（II）若

a

=

2 1

，求M10

a

．
（2）已知直線l：

x=1+ 1 2 t y= 3 2 t

（t為參數），曲線C₁：

x=cosθ y=sinθ

  （θ為參數）．
（Ⅰ）設l與C₁相交于A，B兩點，求|AB|；
（Ⅱ）若把曲線C₁上各點的橫坐標壓縮為原來的

1

2

倍，縱坐標壓縮為原來的

3

2

倍，得到曲線C₂C，設點P是曲線C₂上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值．
（3）已知函數f（x）=log₂（|x+1|+|x-2|-m）．
（Ⅰ）當m=5時，求函數f（x）的定義域；
（Ⅱ）若關于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）（Ⅰ）利用二級矩陣與平面列向量的乘法法則，可得結論；
（Ⅱ）確定矩陣M的特征多項式，確定矩陣M的另一個特征值，進而可得

a

=

e1

+

e2

，由此可求M10

a

；
（2）（Ⅰ）將l、曲線C₁，化為普通方程，聯立方程組，解得l與曲線C₁的交點坐標，可求|AB|；
（II）確定點P的坐標是（

1

2

cosθ，

3

2

sinθ），求出點P到直線l的距離，即可求得最小值；
（3）（I）由題意|x+1|+|x-2|-5＞0，由此可得函數的定義域；
（Ⅱ）f（x）≥1等價于不等式|x+1|+|x-2|-m≥2的解集是R，則m≤|x+1|+|x-2|-2在R上恒成立，從而可求m的取值范圍．

解答：（1）解：（Ⅰ）依題意：

a 1 0 b

1 1

=2

1 1

，∴

a+1=2 b=2

∴a=1，b=2．…（3分）
（Ⅱ）由（1）知，矩陣M的特征多項式為f（λ）=（λ-1）（λ-2），
∴矩陣M的另一個特征值為λ₂=1，…（4分）
設

e2

=

x y

是矩陣M屬于特征值λ₂=1的特征向量，則

1 1 0 2

x y

=

x y

∴

x+y=x 2y=y

，取x=1，得

e2

=

1 0

，…（5分）
∴

a

=

e1

+

e2

，∴M¹⁰

a

=λ110

e1

+λ210

e2

=210

1 1

+110

1 0

=

1025 1024

．…（7分）
（2）解：（I）l的普通方程為y=

3

（x-1），曲線C₁的普通方程為x²+y²=1
聯立方程組

y= 3 (x-1) x2+y2=1

，解得l與曲線C₁的交點為A（1，0），B（

1

2

，-

3

2

），則|AB|=1．…（3分）
（II）C₂的參數方程為

x= 1 2 cosθ y= 3 2 sinθ

（θ為參數），故點P的坐標是（

1

2

cosθ，

3

2

sinθ），
從而點P到直線l的距離是d=

| 3 2 cosθ- 3 2 sinθ- 3 |

2

=

3

4

[

2

sin(θ-

π

4

)+2]，
由此當sin(θ-

π

4

)=-1時，d取得最小值，且最小值為

6

4

(

2

-1)．…（7分）
（3）（I）由題意|x+1|+|x-2|-5＞0，令g（x）=|x+1|+|x-2|=

-2x+1，x≤-1 3，-1＜x＜2 2x-1，x≥2

解得x＞3或x＜-2，∴函數的定義域為{x|x＞3或x＜-2}…（3分）
（Ⅱ）f（x）≥1，∴log₂（|x+1|+|x-2|-m）≥1=log₂2，即|x+1|+|x-2|-m≥2．
由題意，不等式|x+1|+|x-2|-m≥2的解集是R，則m≤|x+1|+|x-2|-2在R上恒成立．
而|x+1|+|x-2|-2≥3-2=1，故m≤1．…（7分）

點評：本題是選作題，考查知識全面，考查學生分析解決問題的能力，綜合性強．