Question

已知函數(shù)f(x)=

lnx+a

x

(a∈R)
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x-y-1=0平行，求a的值
（2）求y=f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值
（3）當(dāng)a=1，且x≥1時(shí)，證明：f（x）≤1．

Answer 1

分析：（1）欲求a的值，根據(jù)在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．再列出一個(gè)等式，最后解方程組即可得．
（2）先求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，最后求出極值即可．
（3）由（2）知，當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f(x)=

lnx+1

x

在[1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，且f(1)=

ln1+1

1

=1，從而證得結(jié)論．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞0}，
所以f′(x)=

1-lnx-a

x 2

．
又曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x-y-1=0平行，
所以f'（1）=1-a=1，即a=0．
（2）令f'（x）=0，得x=e^1-a．
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

由表可知：f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，e^1-a），單調(diào)遞減區(qū)間是（e^1-a，+∞）．
所以f（x）在x=e^1-a處取得極大值，f（x）_極大值=f（e^1-a）=e^a-1．
（3）由（2）知，當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f(x)=

lnx+1

x

在[1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，
且f(1)=

ln1+1

1

=1，
∴x≥1時(shí)，f（x）≤f（1）=1．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．