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已知正方體A₁B₁C₁D₁-ABCD的內切球的體積為

4π

，則這個正方體的邊長為

，這個正方體的外接球的表面積為

．

分析：正方體的內切球的直徑就是正方體的棱長，求出直徑，即可求正方體的邊長，外接球的直徑就是正方體的體對角線的長，求出正方體的對角線長，可求球的表面積：

解答：解：正方體的內切球的直徑就是正方體的棱長，所以

4π

r3=

4π

，球的直徑為：2，即正方體的邊長為：2，
外接球的直徑就是正方體的體對角線的長，正方體的對角線長為：2

，球的表面積：4π(

)2=12π
故答案為：2；12π

點評：本題考查球的內接體，多面體的外接球，球的表面積、體積知識，考查計算能力，是基礎題．

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如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，點E是正方形BCC₁B₁的中心，點F，G分別是棱C₁D₁，AA₁的中點．設點E₁，G₁分別是點E，G在平面DCC₁D₁內的正投影．
（1）求以E為頂點，以四邊形FGAE在平面DCC₁D₁內的正投影為底面邊界的棱錐的體積；
（2）證明：直線FG₁⊥平面FEE₁；
（3）求異面直線E₁G₁與EA所成角的正弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD₁與A₁D相交于點O．
（1）求證：CD⊥平面AA₁D₁D
（2）判斷直線AD₁與平面A₁B₁CD的位置關系，并證明；
（3）求直線AB₁與平面A₁B₁CD所成的角的大小．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2010•合肥模擬）已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，E、F、G分別是AB、BC、B₁C₁的中點．下列說法正確的是

①②③

（寫出所有正確命題的編號）．
①P在直線EF上運動時，GP始終與平面AA₁C₁C平行；
②點Q在直線BC₁上運動時，三棱錐A-D₁QC的體積不變；
③點M是平面A₁B₁C₁D₁上到點D和C₁距離相等的點，則點M的軌跡是一條的直線；
④以正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的任意兩個頂點為端點連一條線段，其中與棱AA₁異面的有10條．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，求證：A₁C⊥面AB₁D₁．

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