Question

【題目】已知為平面上一點，為直線：上任意一點，過點作直線的垂線，設線段的中垂線與直線交于點，記點的軌跡為.

（1）求軌跡的方程；

（2）過點作互相垂直的直線與，其中直線與軌跡交于點、，直線與軌跡交于點、，設點，分別是和的中點，求的面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用軌跡與方程的思想，構造等量關系，求軌跡方程；

（2）用直線斜截式方程設直線方程與曲線方程聯立，利用韋達定理求出點，坐標，可將的面積表示為關于直線斜率的函數，利用函數性質求的面積的最小值.

（1）設點則，設的中點為，則，

且為的中垂線，

當時，

即，

∴

當時，，則

綜上所述點的軌跡的方程為；

（2）設直線的斜率為，

且，則直線的斜率為，

∵直線與軌跡交于點、，直線與軌跡交于點、，

∴，

∴直線的方程為，直線的方程為，

設，聯立直線與曲線方程

∴

∴，

即，，

且點是的中點，

∴

同理

設點到直線：的距離為，

∴，

，

∴，

∴的面積的最小值為.