Question

【題目】已知拋物線的焦點為F，過拋物線上一點P作拋物線的切線交x軸于點D，交y軸于Q點，當時，．

（1）判斷的形狀，并求拋物線的方程；

（2）若兩點在拋物線上，且滿足，其中點，若拋物線上存在異于的點H，使得經過三點的圓和拋物線在點處有相同的切線，求點H的坐標．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）等腰三角形，見解析（Ⅱ）

【解析】

試題（1）設P（x1，y1），求出切線l的方程，求解三角形的頂點坐標，排除邊長關系，然后判斷三角形的形狀，然后求解拋物線方程．

（2）求出A，B的坐標分別為（0，0），（4，4），設H（x0，y0）（x0≠0，x0≠4），求出AB的中垂線方程，AH的中垂線方程，解得圓心坐標，由，求解H點坐標即可．

試題解析：

(1) （1）設P（x1，y1），

則切線l的方程為，且，

所以，，所以|FQ|=|FP|，

所以△PFQ為等腰三角形，且D為PQ的中點，

所以DF⊥PQ，因為|DF|=2，∠PFD=60°，

所以∠QFD=60°，所以，得p=2，

所以拋物線方程為x2=4y；

（2）由已知，得A，B的坐標分別為（0，0），（4，4），

設H（x0，y0）（x0≠0，x0≠4），

AB的中垂線方程為y=﹣x+4，①AH的中垂線方程為，②

聯立①②，解得圓心坐標為：，

kNH==，

由，得，

因為x0≠0，x0≠4，所以x0=﹣2，

所以H點坐標為（﹣2，1）．