Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）若函數(shù)在區(qū)間（其中）上存在極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

（Ⅱ）如果當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

（Ⅲ）求證．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的極值，在探討函數(shù)在區(qū)間（其中a＞0）上存在極值，尋找關(guān)于a的不等式，求出
實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅱ）如果當(dāng)x≥1時(shí)，不等式恒成立，把k分離出來，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值．（Ⅲ）借助于（Ⅱ）的結(jié)論得令，則有，∴，累加，放縮即可證得結(jié)論.

證明不等式．

試題解析：

（Ⅰ），∴時(shí)， ，此時(shí)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)單調(diào)遞減．

又，∴在處取得極大值，

∵若使得在區(qū)間上存在極值，其中，∴，

∴．∴的取值范圍為．

（Ⅱ）不等式，

即恒成立，令，∴，

令，∴，∵，∴，∴在上單調(diào)遞增，

∴，∴， 在上也單調(diào)增，

∴，∴．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知： 恒成立，即，令，則有，∴，∴，

；

；

，

疊加得： ，

∴，

∴，

∴，得證．