Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形且側棱垂直于底面，側棱長是 ，D是AC的中點．
（1）求證：B1C∥平面A1BD；
（2）求二面角A1﹣BD﹣A的大小；
（3）求直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設AB1與A1B相交于點P，連接PD，則P為AB1中點，

∵D為AC中點，∴PD∥B1C．

又∵PD平面A1BD，B1C平面A1BD

∴B1C∥平面A1BD

（2）解：∵正三棱住ABC﹣A1B1C1，

∴AA1⊥底面ABC．

又∵BD⊥AC

∴A1D⊥BD

∴∠A1DA就是二面角A1﹣BD﹣A的平面角．

∵AA1= ，AD= AC=1

∴tan∠A1DA=

∴∠A1DA= ，即二面角A1﹣BD﹣A的大小是

（3）解：由（2）作AM⊥A1D，M為垂足．

∵BD⊥AC，平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC=AC

∴BD⊥平面A1ACC1，

∵AM平面A1ACC1，

∴BD⊥AM

∵A1D∩BD=D

∴AM⊥平面A1DB，連接MP，則∠APM就是直線A1B與平面A1BD所成的角．

∵AA1= ，AD=1，∴在Rt△AA1D中，∠A1DA= ，

∴AM=1×sin60°= ，AP=AB1= ．

∴sin∠APM=

∴直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值為

【解析】（1）由題意及題中P為AB1中點和D為AC中點，中點這樣信息，得到線線PD∥B1C平行，在利用PD平面A1BD線面平行，利用線面平行的判定定理得到線面B1C∥平面A1BD平行；（2）有正三棱柱及二面角平面角的定義，找到二面角的平面角，然后再三角形中解出二面角的大小；（3）利用條件及上兩問的證題過成找到∠APM就是直線A1B與平面A1BD所成的線面角，然后再三角形中解出即可．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則即可以解答此題．