Question

設函數y=

2-x x-1

的定義域為集合A，關于x的不等式lg（2ax）＜lg（a+x）（a＞0）的解集為B，若A∩B=A，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：通過求解函數的定義域求出集合A，利用對數函數的單調性，通過A∩B=A，得到a的關系式，求出a的范圍．

解答：解：因為函數y=

2-x x-1

的定義域為集合A，所以A={x|1＜x≤2}，
當A∩B=A，即當1＜x≤2時，關于x的不等式lg（2ax）＜lg（a+x）（a＞0）恒成立．
由2ax＜a+x得a（2x-1）＞0．
因為2x-1＞0，所以a＜

x

2x-1

，
又因為

x

2x-1

=

1

2- 1 x

的最小值為

2

2×2-1

=

2

3

，
所以0＜a＜

2

3

．

點評：本題考查函數的定義域的求法，分式不等式的解法，指數函數的單調性的應用，考查分析問題解決問題的能力．