Question

某廠生產某種電子元件，如果生產出一件正品，可獲利200元，如果生產出一件次品，則損失100元，已知該廠在制造電子元件過程中，次品率p與日產量x的函數關系是：p=

3x

4x+32

(x∈N*)．
（1）求該廠的日盈利額T（元）用日產量x（件）表示的函數；
（2）為獲最大盈利，該廠的日產量應定為多少？

Answer 1

分析：（1）因為該廠的日產量為x，則其次品數為px=

3x2

4x+32

，正品數為(1-p)x=

x2+32x

4x+32

，由此能求出該廠的日盈利額T（元）用日產量x（件）表示的函數．
（2）由T=

-25x2+1600x

x+8

，利用導數知識能求出為獲最大盈利，該廠的日產量．

解答：（本小題滿分13分）
解：（1）因為該廠的日產量為x，
則其次品數為px=

3x2

4x+32

，正品數為(1-p)x=

x2+32x

4x+32

，
根據題意得T=200×

x2+32x

4x+32

-100×

3x2

4x+32

，
化簡整理得T=

-25x2+1600x

x+8

．
（2）∵T=

-25x2+1600x

x+8

，
∴T′=

(-50x+1600)(x+8)-(-25x2+1600x)

(x+8)2

=-25×

x2+16x-64×8

(x+8)2

=-25×

(x+32)(x-16)

(x+8)2

，
當0＜x＜16時，T'＞0；當x＞16時，T'＜0．
所以x=16時，T有最大值，即T_max=T（16）=800元．
答：（1）該廠的日盈利額T=

-25x2+1600x

x+8

，x∈N^*；
（2）為獲最大盈利，該廠的日產量應定為16件．

點評：本題考查導數知識在生產生活中的實際應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．